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クールノー競争の価格・生産量と社会的総余剰では、2社のクールノー競争におけるクールノー均衡を求める方法を説明しました。ここではそれを「最適反応曲線」（反応曲線、最適反応関数）と呼ばれる図で説明し、ナッシュ均衡との関連をより明確にします。

モデルの設定（再掲）

クールノー競争の価格・生産量と社会的総余剰で説明した設定を再掲します。そこから読んでいる方は、ここは飛ばして構いません。

• 同じ製品を販売している企業AとB。
• AとBの生産量をそれぞれ\(x_A,x_B\)とする。
• 市場全体の生産量を\(x=x_A+x_B\)とし、その価格\(p\)は$$p=a-bx$$で与えられるとする。
• 製品1単位の費用（限界費用）はAもBも\(c\)で同じとする。
• 企業Aの利益を\(\pi_A\)とおく。$$\pi_A=px_A-cx_A$$。
• 企業Aの利益\(\pi_A\)を最大にする\(x_A\)を考える。\(p=a-bx\)を代入し、\(x=x_A+x_B\)に注意すると\[ \begin{align} \pi_A &=\{a-b(x_A+x_B)\}x_A-cx_A\\&=-bx_A^2-bx_Ax_B+(a-c)x_A　\tag{1} \end{align}\]とる。
• 式(1)を最大にする\(x_A\)を求めるため、\(x_A\)で微分して0になるところを求める。(1)を\(x_A\)で微分すると、\(-2bx_A-bx_B+(a-c)\)。したがって\[-2bx_A-bx_B+(a-c)=0\]を解けば良く、これより\[x_A=-\frac{1}{2}x_B+\frac{a-c}{2b} \tag{2}\]となる。
• 企業Bの利益を\(\pi_B\)とおく。$$\pi_B=px_B-cx_B$$。
• 企業Bの利益\(\pi_B\)を最大にする\(x_B\)を求めると、\[x_B=-\frac{1}{2}x_A+\frac{a-c}{2b} \tag{3}\]となる。
• 式(2)と式(3)を、それぞれ「企業Aの最適反応関数」「企業Bの最適反応関数」と呼びます。
• 式(2)は企業Bの生産量\(x_B)\が与えられたときに、企業Aの利益を最大にする企業Aの生産量を表しています。
• 式(3)は企業Aの生産量\(x_A)\が与えられたときに、企業Bの利益を最大にする企業Bの生産量を表しています。

最適反応関数を図で書く－最適反応曲線

上記の最適反応関数を横軸に(x_A)、縦軸に(x_B)にした図（グラフ）に描いてみます。まず式(3)の企業Bの最適反応関数から考えてみます（⇒なぜなら、左辺は縦軸、右辺は横軸のグラフに慣れている人が多いからです）。式(3)のグラフを書いてみると、以下のようになります。

この式は切片が\(\frac{a-c}{2}\}で、傾きが-1/2の右下がりの直線になります。これは企業Aの生産量が与えられると、そのとき企業Bの利益が最大になる生産量がいくつであるかを示す曲線になるわけです。企業Bは、もし企業Aの生産量が決まれば、自分がもっとも利益が高くなる生産量が分かるわけですが、企業Aの生産量は決まっていません。そこでこれに式(2)の企業Aの最適反応曲線を描き、重ねてみます。

 

企業Aは、企業Bと縦軸と横軸が逆になりますね。切片と傾きは同じです。企業Aは、もし企業Bの生産量が決まれば、自分の利益を最大にする生産量が分かるわけですが、企業Bの生産量は決まっていません。

企業Bの生産量が決まらないと企業Aの生産量が決まらず、企業Aの生産量が決まらないと企業Bの生産量が決まらない。そこで「お互いが最適反応となる生産量の組」を選び合うことが答となると考えます。これがナッシュ均衡、またはクールノー均衡（またはクールノー＝ナッシュ均衡）と呼ばれるものです。

ナッシュ均衡は20世紀半ばにゲーム理論で考えられたものですが、寡占市場の分析に限ると、それより100年以上も前にクールノーが上記の解を考えていたことによるため、このように呼ばれます。

お互いが最適反応となる生産量の組は、両方の直線が交わった点です（次の図）。この点は、式(2)と式(3)の連立方程式を解くことによって求められます。これを求めると、\[x_A=x_B=\frac{a-c}{3}\]となります。

 

以下も参考にして下さい。

• クールノー競争とベルトラン競争入門(3)：クールノー競争の価格・生産量と社会的総余剰
• クールノー競争とベルトラン競争関連のページ

独占市場における価格と生産量の決定を理解したとして、ここでは２社のクールノー競争の価格と生産量の決定、および社会的総余剰の計算について説明します。

クールノー競争の価格と生産量の決定：モデル

ここでは同質財を販売している２社の生産量競争を考えます。一般にクールノー競争と呼ばれるのは、このモデルです（不完全競争市場の分類）。

• 企業AとBが同じ製品（同質財）を販売するとします。AとBの生産量をそれぞれ\(x_A,x_B\)とし、AとBは\(x_A,x_B\)を決定するとしましょう。
• 市場全体の生産量を\(x=x_A+x_B\)に対して、その価格\(p\)は$$p=a-bx$$で与えられるとします。
• ここで製品を1単位の費用（限界費用）はAもBも\(c\)で同じであり、生産量にかかわらず一定とします。簡単にするため固定費は考えません。
• AとBは利益を最大にすると考えます。AとBは、生産量\(x_A、x_B\)をいくらにするでしょうか。

問題の解法

問題は以下のようにして解くことができます。

• 企業Aの利益を\(\pi_A\)とおく。ここで（利益）＝（収入）－（費用）であり、収入は（価格）\(\times\)（生産量）、費用は（限界費用）\(\times\)（生産量）となります。したがって$$\pi_A=px_A-cx_A$$となります。
• この\(\pi_A\)を最大にする\(x_A\)を考えます。そこで\(p=a-bx\)を代入し、さらに\(x=x_A+x_B\)に注意すると\[ \begin{align} \pi_A &= px_A-cx_A \\ &=(a-bx)x_A-cx_A \\&=
  \{a-b(x_A+x_B)\}x_A-cx_A\\&=-bx_A^2-bx_Ax_B+(a-c)x_A　\tag{1} \end{align}\]となります。
• この式(1)を最大にする\(x_A\)を求めるには、ざっくり言うと\(x_A\)で微分
  （正確には偏微分）して0になるところを求めれば良い。(1)を\(x_A\)で微分すると、\(-2bx_A-bx_B+(a-c)\)となります。したがって\[-2bx_A-bx_B+(a-c)=0\]を解けば良く、これより\[x_A=-\frac{1}{2}x_B+\frac{a-c}{2b} \tag{2}\]となります。
• 式(2)は、企業Aの最適反応関数と呼ばれます。式(2)は\(x_B\)が与えられたときに企業Aの利益を最大にする企業Aの生産量を表しています。したがって、企業Bの生産量が決まれば、企業Aとの最適な生産量（答）が決まるのですが、企業Bの生産量がいくらになるか分かりません。そこで企業Bが利益を最大にする生産量を同様に求めてみます。
• 企業Bの利益を\(\pi_B\)とおきます。$$\pi_B=px_B-cx_B$$であり、企業Aの場合と同様に\(p=a-bx\)を代入して計算し、$$\pi_B=-bx_B^2-bx_Ax_B+(a-c)x_B$$を得ます。さらに\(x_B\)で微分して0になるところを求めると、\[x_B=-\frac{1}{2}x_A+\frac{a-c}{2b} \tag{3}\]となります。
• この式(3)は、企業Bの最適反応関数と呼ばれます。企業Aと同様に\(x_A\)が与えられたときに、企業Bの利益を最大にする企業Bの生産量を表しています。
• ここで、企業Aは企業Bの生産量が分からなければ、利益を最大にする生産量が分からず、企業Bは企業Aの生産量が分からなければ、利益を最大にする生産量が分かりません。ここでゲーム理論のナッシュ均衡の概念により解を求めるわけです。ナッシュ均衡は、お互いが最適反応戦略を選び合うような戦略の組み合わせで、ここでは式(2)と式(3)を同時に満たす\(x_A\)、\(x_B\)となります。
• 式(2)と式(3)を同時に満たす\(x_A\)、\(x_B\)は、これらを連立方程式で解くことによって求められます。式(3)の\(x_B\)を式(2)に代入して計算すると\(x_A=-\frac{1}{4}x_A+\frac{a-c}{4b}\)となり、これから\(x_A=\frac{a-c}{3b}\)を得ます。またこれを式(2)に代入して、\(x_B=\frac{a-c}{3b}\)を得ます。
  このときの価格は\[p=a-bx=a-b(x_A+x_B)=\frac{a+2c}{3} \]となります。
• このとき企業Aの利益は\[ \begin{align} \pi_A &= px_A-cx_A =(p-c)x_A\\ &=\left(\frac{a+2c}{3}-c\right)\left(\frac{a-c}{3b}\right)=\frac{(a-c)^2}{9b} \end{align}\] となります。同様に企業Bの利益も同じになります。

まとめますと、クールノー競争における企業Aと企業Bの生産量は\(x_A=x_B=\frac{a-c}{3b}\)となります。これをクールノー均衡と呼びます。クールノー均衡における価格は\(p=\frac{a+2c}{3}\)、各企業の利益は\(\pi_A=\pi_B=\frac{(a-c)^2}{9b}\)となります。

消費者余剰、社会的総余剰

独占市場における、消費者余剰、生産者余剰、社会的総余剰について示します。

市場全体の取引量が\(x=x_A+x_B=\frac{2(a-c)}{3b}\)であることに注意すると、上記で求めたクールノー競争の価格と生産量と企業の限界費用は、以下の図で示すことができます。

消費者余剰は、図の青色で示された部分の三角形です。

三角形の底辺の長さは\(\frac{2(a-c)}{3b}\)、高さは\[ a-\frac{a+2c}{3}=\frac{2(a-c)}{3} \]ですから、三角形の面積は\[ \frac{1}{2} \times\frac{2(a-c)}{3b} \times \frac{2(a-c)}{3}=\frac{2(a-c)^2}{9b} \]となります。

企業の利益は、図の緑色の部分の長方形の面積です。

長方形の高さ（価格－限界費用）は、\(\frac{a+2c}{3}-c=\frac{a-c}{3}\)、ヨコの長さは\(\frac{2(a-c)}{3b}\)ですので、長方形の面積は\[\frac{a-c}{3}\times\frac{2(a-c)}{3b}=\frac{2(a-c)^2}{9b}\]となります。先に求めた企業の利益を合計した値（\(\pi_A+\pi_B\)）と一致することがわかりますね。これを生産者余剰とも呼びます。

社会的総余剰は、消費者余剰と生産者余剰の総和です。したがって社会的総余剰は
\[\frac{2(a-c)^2}{9b}+\frac{2(a-c)^2}{9b}=\frac{4(a-c)^2}{9b}\]です。

• 前：クールノー競争とベルトラン競争入門(3)：クールノー競争の価格・生産量と社会的総余剰
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2020年東京都立大学「ゲーム理論1」オンライン講義（youtube）：コロナ対応

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• ゲーム理論１_16クールノー競争と社会厚生
• ゲーム理論１_17 ベルトラン競争
• ゲーム理論１_18 シュタッケルベルグ競争

クールノー競争は、2社以上の企業が利益を最大化するように生産量を決める生産量競争です。その考え方の基本となるのは、企業が1社のときの独占市場の生産量決定です。1社のときが分からないで、2社以上の場合が分かることがあろうか。いやない。（反語）。ここでは独占市場において、生産量と価格がどのように決定されるかを示します。

独占市場の価格と生産量の決定：モデル

ここでは以下の例を考えます。

• 企業Aがある製品を独占的に販売しているとし、その生産量\(x\)を決定するとしましょう。
• 生産量\(x\)に対して、その価格\(p\)は$$p=a-bx$$で与えられるとします。
  • ここでは生産量＝需要量（取引量）となるように価格が決定されるとします。すなわち在庫は考えず、すべての生産量が売り切るように価格がつくと考えます。
  • したがって、たくさん生産すると取引量は多いのですが、価格が下がり、儲かりません。価格を高くしようとすると少なく生産しなければならず、その生産量が少なすぎても儲かりません。すなわち、価格と生産量の間にトレードオフがあり、そのもとで、企業Aは生産量\(x\)を決定する問題を考えます。
  • なお「価格が\(p\)のとき、需要を\(x\)とすると、\(x=\alpha – \beta p\)となる」のように、需要関数が与えられる場合もあります。その場合は、 生産量＝需要量（販売量）となることから、\(x\)を生産量と考えて、\(p=(\alpha/\beta)-(1/\beta)x\)のように\(p\)の式に変換すれば良いわけです。\(a=\alpha/\beta\)、\(1/\beta\)とおくと、上記の設定になります。
• ここで製品を1単位売る費用（限界費用）は\(c\)とし一定とします。簡単にするため固定費は考えません。
• 企業Aとは利益を最大にするように、この製品の生産量\(x\)を決定するとします。\(x\)はいくらになるでしょうか。

問題の解法

問題は以下のようにして解くことができます。

• 企業Aの利益を\(\pi\)とおく。ここで（利益）＝（収入）－（費用）であり、収入は（価格）\(\times\)（生産量）、費用は（限界費用）\(\times\)（生産量）となります。したがって$$\pi=px-cx$$となります。
• この\(\pi\)を最大にする\(x\)を求めれば良いわけです。そこで \(p=a-bx\) を代入して\(x\)だけの式にすると\[ \begin{align} \pi &= px-cx \\ &=(a-bx)x-cx \\&=-bx^2+(a-c)x \end{align}\]となります。
• この式を最大にする\(x\)を求めるには、ざっくり言うと\(x\)で微分して0になるところを求めれば良い。\(-bx^2+(a-c)x\)を \(x\)で微分すると、\(-2bx+(a-c)\)となります。したがって\[ -2bx+(a-c)=0 \]を解けば良く、これより\(x=\frac{a-c}{2b}\)が求める生産量（最適生産量）となります。
• このときの価格は、\(p=a-bx^*=\frac{a+c}{2}\)となります。
• このとき企業の利益は\[ \begin{align} \pi &= px-cx =(p-c)x \\ &=(
  \frac{a+c}{2}-c)(\frac{a-c}{2b})=\frac{(a-c)^2}{4b} \end{align}\] となります。

消費者余剰、社会的総余剰

独占市場における、消費者余剰、生産者余剰、社会的総余剰について示します。

上記で求めた独占市場の価格と生産量と企業の限界費用は、以下の図で示すことができます。

消費者余剰は、図の青色で示された部分の三角形です。

（なぜこの部分が消費者余剰になるかは、ミクロ経済学のテキストなどを参照してください。なお拙著「ゼミナールゲーム理論入門」の5章にも、独占やクールノー競争での消費者余剰や社会的総余剰の数値例による初歩的な解説があります）。

三角形の底辺の長さは\(\frac{a-c}{2b}\)、高さは\[ a-\frac{a+c}{2}=\frac{a-c}{2} \]ですから、三角形の面積は\[ \frac{1}{2} \times\frac{a-c}{2b} \times \frac{a-c}{2}=\frac{(a-c)^2}{8b} \]となります。

企業の利益は、図の緑色の部分の長方形の面積です。

なぜかと言うと、製品1単位の利益は長方形の高さ（価格－限界費用）になり、これに長方形のヨコの長さ（取引量）をかけたものが利益となるからです。なお

長方形の高さ（価格－限界費用）は、\(\frac{a+c}{2}-c=\frac{a-c}{2}\)、ヨコの長さは\(\frac{a-c}{2b}\)ですので、長方形の面積は\[\frac{a-c}{2}\times\frac{a-c}{2}=\frac{(a-c)^2}{4b}\]となります。先に求めた値と一致しますね。これを企業の生産者余剰とも呼びます。

社会的総余剰は、消費者余剰と生産者余剰の総和です。したがって社会的総余剰は
\[\frac{(a-c)^2}{8b}+\frac{(a-c)^2}{4b}=\frac{3(a-c)^2}{8b}\]です。

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囚人のジレンマとは

囚人のジレンマは、ゲーム理論の中で、もっとも有名な例・モデルと言えるでしょう。
２人のプレイヤーが「協力するか」「協力しないか」を選ぶ問題で、以下の3つの条件が成立するときに、それは囚人のジレンマと呼ばれます。

(1)各プレイヤーは、相手が協力するならば、自分は協力しないほうが良い。
(2)各プレイヤーは、相手が協力しなくても、自分は協力しないほうが良い。
(3)しかし各プレイヤーは、２人が協力しないよりは、２人が協力したほうが良い。

(1)と(2)から、相手が何を選んでも自分は「協力する」より「協力しない」ほうが良いので、2人は協力しないことを選択します。しかしその結果が2人が協力することよりも悪くなっているために問題となるわけです。

ここで 「協力する」ことはゲーム理論では支配戦略と呼ばれます。支配戦略は、相手が何を選んでも、自分にとって他の選択より良い選択です。このことから支配戦略を選ぶことは自明のように思えるのですが、 囚人のジレンマを考えると支配戦略を選ぶことが必ずしも自明では思えなくなります。

囚人のジレンマの由来

この問題が囚人のジレンマと呼ばれるのは、タッカー(A. Tucker。カルーッシュ・クーン・タッカー条件(Karush-Kuhn-Tucker condition)のタッカーです）という数学者が上の状況を以下のようなストーリーで表現したことが由来であると言われています（以下はタッカーのオリジナルのストーリーとは違います）。

（囚人ジレンマ　ストーリー）重罪を犯しているが、証拠が不十分なため軽微な罪で逮捕されている２人の囚人がいる。彼らは別々な部屋で取引を持ちかけられる「お前だけが重罪について自白すれば無罪にしてやる」。
　もし２人が黙秘を続けると、軽微な罪で懲役１年である。しかし１人が自白し、１人が黙秘をすると、自白した方は釈放、黙秘した方は（捜査に協力しないことで罪が重くなり）懲役10年。しかし両方が自白すると（重罪で）懲役5年になる。
　さて、あなたが囚人ならば自白したほうが良いか、黙秘したほうが良いか？

この状況を表にすると、以下のようになります。

先に述べた「協力すること」を「黙秘」に、「協力しないこと」を「自白」に置き換えると、囚人のジレンマの３条件に当てはまることが分かります。すなわち、

(1)各囚人は、相手が黙秘するなら、自分は自白するほうが良い。
(2)各囚人は、相手が自白するとしても、自分は自白するほうが良い。
(3)しかし各囚人は、２人が自白するよりは、２人が黙秘したほうが良い。

相手が黙秘しても自白しても、自分は黙秘するより自白するほうが良いので、2人は自白を選びます。しかし、その結果は2人が黙秘するよりも悪くなります。

囚人のジレンマの例

この問題が興味を持たれるのは、社会や経済や政治の問題にこのジレンマが多く現れるからです。例えば

• 2国間の軍備拡張の問題。相手国が軍備拡張しない場合、自国だけが軍備拡張をすれば相手に外交上優位な立場に立てる。相手国が軍備拡張しない場合は、自分も拡張して追いつかなければ、相手に優位に立たれてしまう。しかし、両国とも拡張すると、拡張前と力のバランスは変わらず、ただ軍事費だけが増えてしまう（核兵器の問題にも同様な文脈が使われます）。
• 安売りの問題。競争関係にある2店舗が、顧客を取り合うために、商品の価格を現状維持とするか、安売りをするかの問題。相手が現状維持の場合、自分だけが安売りをすれば顧客を奪い売上が増えるので、安売りをしたほうが良い。相手が安売りをしている場合、自分だけが現状維持をすると顧客を奪われ売上が減少するので、こちらも安売りをしたほうが良い。しかし両者が安売りをすると、顧客を奪うことはできず、価格の低下で売上だけが減ってしまう。

と言った現象です。なお安売りの問題は、安売りをしている企業にとっては問題ですが、消費者にとってはそれ以上に恩恵があります。市場の価格競争は、囚人のジレンマという構造を利用して消費者の厚生を高める仕組みだと言うこともできます。

囚人のジレンマの繰り返し

囚人のジレンマは、本来なら協力することが望ましい2人が協力しない方が良いという結果になってしまうジレンマです。これは、協力することをコミットするような契約（協力しなければ罰金を払うなど）を結ぶことで解決できる可能性がありますが、国家間の関係のように、このような契約を結ぶことが難しい場合もあります。このような場合、囚人のジレンマの状況は1回きりではなく、長期間に継続する問題でもあります。このような長期間に続く囚人のジレンマは、囚人のジレンマを何度も繰り返すようなゲームだと考え、繰り返しゲームという枠組みで分析されます。

注意点

囚人のジレンマを語るには、以下のことに注意する必要があります。

• 2人ではなく3人以上の多人数版の囚人のジレンマは共有地の悲劇と呼ばれます。（3人以上でも、「囚人のジレンマ」と呼ばれることもありますが）。
• 「2人が協力しない」というゲームの解を支配戦略ではなく、ナッシュ均衡であるとしている解説もあります。全員が支配戦略を選ぶことは、ナッシュ均衡の特殊ケースなので、そうしても間違いではありません。しかしナッシュ均衡より強い支配戦略として理解するほうが適切です。
• 囚人のジレンマと言われている状況でも、3つの条件のうち、(2)について抜けている場合があります。例えば

  X先生と2人で教授会で口論になり、教授会の時間がどんどん長引いている。(1′)X先生が折れるなら、自分は折れるより折れないほうがいい。(2′)自分が折れるなら、X先生は折れるより折れないほうがいい。(3′)でも２人が折れないなら、教授会は長引くばかりで、それなら2人とも折れたほうがいい（まったくの、まったくのフィクションです）。

  一見すると条件が３つ揃ってるように見えますが、(1′)も(2′)も「相手が協力するなら、自分は協力しないほうが良い」という囚人のジレンマの条件(1)を２人のプレイヤーに分解して言い換えただけで、条件(2)（相手が折れないなら、自分は折れたほうが良いのか、折れないほうが良いのか）が特定されていません。もし「相手が折れないなら、自分は折れたほうがいい」ならば、これはチキンゲームです。

囚人のジレンマのブックガイド

• 囚人のジレンマ－－フォンノイマンとゲームの理論 (1995)、ウィリアム・パウンドストーン（著）、松浦俊輔（訳）、青土社、\2600、ISBN：4791753607。
  • まさに「囚人のジレンマ」をタイトルにした本だが、それのみではなくゲーム理論の歴史と逸話に、ゲーム理論の初歩的な考え方を絡めた読み物である、ゲーム理論とは何かを知る入門書としても面白い。囚人のジレンマの誕生や囚人のジレンマに関する多くの研究について知ることができる。キューバ危機ではノイマン自身が原子力安全委員会の委員長として、ソ連とアメリカの囚人のジレンマにどう対応したかなどが興味深く記されている。原著はW. Poundstone、 Prisonaer’s Dillemma (1992)、Doubleday。
• つきあい方の科学―バクテリアから国際関係まで (1984)、R. アクセルロッド (著)、Robert Axelrod (原著)、松田 裕之 (翻訳)、Minerva21世紀ライブラリー（ミネルヴァ書房）、\2600、ISBN：4623029239。
  • 「囚人のジレンマ」の研究の中で、一般の人に有名で影響が強く、分かりやすいのはロバート・アクセエルロッドのコンピュータプログラムどうしのトーナメントによる実験であろう。この本は、その詳細をな結果や経緯をもとに、囚人のジレンマ研究のビジネスへの応用が解かれている。
• 信頼の構造－－こころと社会の進化ゲーム (1998)、山岸敏男（著）、東京大学出版会、\3200、ISBN：413011086
  • 社会心理学の立場から実験やゲーム理論の成果などをふまえて囚人のジレンマや社会的ジレンマがどのように起こり、どのように解決されるかの要因を探り、分かりやすく解説した本。馴れ合いや安易な集団主義に警告を発し、真の信頼関係を築くために何が必要なのかを語る。出版当時は、これからの日本がどうあるべきかを示唆すると共に実験経済学などの方面を踏まえて、これからのゲーム理論がどのように進むべきかも考えさせられた。
• 社会的ジレンマ－－環境破壊からいじめまで(2000)、山岸敏男（著）、PHP新書、\660、ISBN：4569611745
  • 前述の本が社会的ジレンマ研究のサーベイや実験経過などを理論的に解説する研究者向けの本であるのに対して、同著者のこの本は社会的ジレンマとその解決を一般向けに解説した本であった。
• 対立と協調の科学－エージェント・ベース・モデルによる複雑系の解明 (2003)、ロバート・アクセルロッド (著)、寺野 隆雄 (翻訳)、ダイヤモンド社、\3800、ISBN：447819047X　ロバート・アクセルロッド最新刊 

支配戦略とは

戦略形ゲームにおいては、各プレイヤーがどの戦略（選択、行動、代替案）を選ぶかを決めることが分析の主たる目的となります。

このとき1人のプレイヤーに対して

自分以外のプレイヤーが何を選んでも、自分の他の戦略よりも良い戦略（利得を高くする戦略）

があれば、その戦略を（そのプレイヤーの）支配戦略と呼びます。
プレイヤーに支配戦略があれば、そのプレイヤーはその支配戦略を選ぶと考えます。

支配戦略の例

例を挙げましょう。

支配戦略の例（コンビニ戦争２）：２つのコンビニ、セレブ（セレブイレブン）とファミモ（ファミリーモール）が、まだコンビニがないA駅とB駅のどちらか一方に出店しようと考えている。コンビニを１日に利用する客はA駅が1200人、B駅が300人である。セレブとファミモがもし違う駅を選べば、利用客を独占できる。しかし同じ駅に出店すると、ファミモが人気で、ファミモはセレブの2倍の客数を獲得できる。すなわち両方がA駅に出店すると、セレブ400人、ファミモ800人。B駅に出店すると、セレブ100人、ファミモ200人である。ここで客数を利得と考える。セレブとファミモはどちらの駅に出店するだろうか？

ゲーム理論を持ち出すまでもなく、ちょっと考えるとセレブもファミモもA駅を選ぶことが分かるでしょう。B駅を独占しても高々300人ですからね。でも最初はこの例から始めましょう。

このゲームを利得行列で書くと下のようになります。

このときセレブの視点に立ってみましょう。セレブは

• ファミモがA駅を選ぶならB駅(300)よりA駅(400)を選ぶほうが良い。
• セレブは、ファミモがB駅を選んでも B駅(100)よりA駅(1200)を選ぶほうが良い。

と言うことが分かります。セレブは、ファミモが何を選んでも、B駅よりはA駅の方が良い戦略です。したがってA駅はセレブの支配戦略です（以下の図）。

同様に ファミモの視点に立って考えてみます。

セレブは、ファミモが何を選んでも、B駅よりはA駅の方が良い戦略です。したがってA駅はセレブの支配戦略です。

もしすべてのプレイヤーに支配戦略があれば、すべてのプレイヤーが支配戦略を選ぶことがゲームの答となり、そのゲームは解けたことになると言えるでしょう。今回の例では、セレブもファミモも支配戦略はA駅でしたから、両方ともA駅を選ぶと予測でき、ゲームは解けたことになります。

支配戦略はゲーム理論における「強い解」

支配戦略は、相手の選択に関わらず、自分にとって他の選択より良いような選択がある場合です。このときプレイヤーは、相手や自分にとっての知識が完全でなくても行動を確定することができます。例えば、

（禅が好きなアリス）アリスと文太は、それぞれ禅寺に行くか、ショッピングセンターに行くか悩んでいる。アリスはとにかく禅寺に行きたいので、文太が禅寺に行っても行かなくても、ショッピングセンターよりは禅寺がいい。

この場合、アリスにとって禅寺に行くことが支配戦略になり、アリスは禅寺に行くことが確定します（だから「悩んでいる」って問題設定はおかしいんだけど）。しかも

• 文太の利得は全く分かっていない。つまりプレイヤーに支配戦略があれば、相手の行動どころか、利得さえ分からなくても、そのプレイヤーの行動は確定する。
• アリスも結果に対する好みがすべて確定しているわけではない。例えば「文太と一緒に禅寺に行くこと」と「アリスだけが禅寺に行き、文太はショッピングセンターに行くこと」のどちらが良いかは問題には定められていない（文太が好きなのか、嫌いなのか？）。つまりプレイヤーは、相手の選択それぞれに対する自分の好みだけが分かっていれば行動は確定する。

ということになります。つまり支配戦略があれば、細かい情報はなくてもプレイヤーはそれを選ぶことになります。このことは、支配戦略によるプレイヤーの行動の予測は、かなり確かなものになっているということで、支配戦略がないゲーム（その解はナッシュ均衡）よりも、より確からしい予測を与えているということになります。

• 「禅が好きなアリス」は文太の好みが分からないと、文太が何を選ぶかは分からない。この例の続きは（未完）。
• 支配戦略がない場合は、ゲームの解としてはナッシュ均衡を考えることになる。

このように支配戦略があればゲームの解は自明なように思えますが、必ずしもそうではないように見えるゲームがあります。それが囚人のジレンマであり、共有地の悲劇です。

• ナッシュ均衡（ざっくりした説明）
• ナッシュ均衡の求め方：2人ゲームの利得行列の場合
• ナッシュ均衡を理解する演習
• じゃんけんの必勝法と行動ファイナンス・行動経済学
• 囚人のジレンマ
• 調整ゲーム
• チキンゲーム