クールノー競争とベルトラン競争って何なのか？って、話から始めます。計算から行きたい人は独占市場の価格決定へ行くと良いでしょう。
完全競争市場と不完全競争市場
経済学では、最初に完全競争市場（perfectly competitive market）という市場を学びます。そこでは
- 消費者や企業は多数いて、価格受容者（その行動によって価格が変化しない）
- 企業は価格を所与とし、生産量を決めて、利益を最大化する
- 企業は限界費用と価格が等しくなるように生産量を決める
- 分析道具は、需要曲線と供給曲線 （部分均衡）で、需要曲線と供給曲線が交わったとこで価格と取引量が決まる
とされています。これは「古典的な」市場理論と言えるもので、経済学の考え方の基礎となります。農業なんかだとこの考えは当てはまるし（キャベツの生産者は、自分の生産によって、市場のキャベツの価格が変化するとは思わないでしょう）、経済学が作られた頃は企業とか今のようではなかったし、このように単純化すると経済の問題をシンプルに扱うことができるのでうれしいっす。しかし、
企業は価格を所与として、生産量を決めて、利益を最大化する
という部分は、現在の経済ではとても問題となります。実際に、現在の多くの市場では、企業は価格を所与だと考えているとは思わないでしょう。自分自身が価格を決めたり、もしくは自身の生産が価格に影響を及ぼすことを考慮したりして、意思決定をする場合が多いと思われます。
そこで近年の経済学の研究では、不完全競争市場（imperfectly competitive market）を考えることが多いです。これは企業の数が１つ（独占市場）だったり、２つ（複占市場）だったり、少数（寡占市場）だったりする市場です。ここでは企業を価格決定者であると考え、企業の行動によって価格が決まります。
企業が１つの独占市場の問題は簡単でしたが、2つ以上のときは企業の相互作用がどのように価格や生産量に影響を及ぼすかを考えなければなりません。このとき中心となるのはゲーム理論であり、これによって不完全競争市場は大きく発展し、産業組織論（政策が企業の行動にどのように影響を及ぼす考えたりする）国際経済学などの分野に大きく応用され、近年は経営戦略にも応用されるようになったのでした。
クールノー競争とベルトラン競争
ざっくりいうと、２社以上の企業の不完全競争市場を扱うモデルのうち、クールノー競争は企業が生産量を決定するモデル（生産量競争）で、ベルトラン競争は企業が価格を決定するモデル（価格競争）です。
クールノー競争：各企業は生産量を決定する（生産量競争）
ベルトラン競争：各企業は価格を決定する（価格競争）
このとき各企業が生産する財が同質財か、異質財か、でモデルが大きく分かれます。
同質財の市場と言うのは、すべての企業が生産する財が全く同じで、消費者は企業ごとの財の区別をしません。生産量競争では、全企業が生産した財の合計（＝市場全体の生産量）によって財の価格が決まり、その価格はすべての企業の財の価格になると考えます。価格競争では、一番安い価格をつけた企業からすべての消費者は財を買うと考えます。各企業の財は１つの市場、１つの需要曲線で表現されます。
異質財の市場は製品が差別化された市場です。各企業ごとに別の市場があり、相手企業の価格や生産量は、自企業の製品の需要量に影響を及ぼしますが、その需要関数は各企業ごとに与えられます。
通常、クールノー競争と言うと同質財のクールノー競争を指します。これに対し、ベルトラン競争は同質財と異質財の両方を指すことが多いようです。
ゲーム理論では、各プレイヤーが行動するタイミングは、ゲームを決める重要な要素です。上記のモデルは、企業は、相手企業の価格や生産量を知らずに、自社の価格や生産量を決定すると考えています。言わば「同時に」決定すると考えています。
これに対して、各企業が逐次的に価格や生産量を決定するモデルもあります。２社の生産量競争で、１社が先に生産量を決定し（先手）、それを見てもう１社が生産量を決定するモデルはシュタッケルベルグ(Stackelberg)競争と呼ばれます。
クールノー競争：２社が同時に生産量を決める
シュタッケルベルグ競争：２社が先手と後手で逐次的に生産量を決める
２社が先手と後手で価格を決めるモデルもありますが、特に名前はついていません。
※経済学では特に名前はついていませんが、情報学やORなどでは最近、2人ゲームの先手と後手のあるゲームをすべて「シュタッケルベルグゲーム」と呼ぶことが多いです。