ナッシュ均衡の求め方:2人ゲームの利得行列の場合

ここではナッシュ均衡を求める方法について.「プレイヤーが2人で混合戦略(確率を用いる戦略)を考えない場合」について説明します.ゲーム理論の基本中の基本と言えます.(クールノー均衡の求め方はこちら.ナッシュ均衡とは何かはこちら,ナッシュ均衡の概念を理解するおけいこはこちら

ナッシュ均衡の求め方

ナッシュ均衡は「すべてのプレイヤーが最適反応戦略(利得が最も高くなる戦略)を選び合う戦略の組み合わせ」ですから,以下の方法で求めることができます.

  • STEP1 プレイヤー1の立場で考える.
    • 相手(プレイヤー2)のすべての戦略に対して,プレイヤー1がもっとも利得が高くなる戦略をチェックする(プレイヤー1の最適反応戦略).ここでは利得に下線を引く.
  • STEP2 プレイヤー1の立場でチェックが終わったら,プレイヤー2の立場で考える.
    • 相手(プレイヤー1)のすべての戦略に対して,プレイヤー2がもっとも利得が高くなる戦略をチェックする(プレイヤー2の最適反応戦略).ここでは利得に下線を引く.
  • STEP3 すべてのチェックが終わったら,両プレイヤーの利得に下線が引かれているのがナッシュ均衡.(利得ではなく,戦略の組であることに注意!)

例題

以下の利得行列でナッシュ均衡を求めてみましょう.

ナッシュ均衡を求めてみよう

今回は,ナッシュ均衡を求める手順を習得することが目的なので,ストーリーは特につけずに,単なる記号で利得行列を考えます.利得行列の読み方が不安,分からないって方は,こちらをご覧ください.

STEP1 まず,プレイヤー1の立場で考えます.相手(プレイヤー2)のすべての戦略に対して,プレイヤー1がもっとも利得が高くなる戦略(最適反応戦略)をチェックし,利得の下に下線を引いて行きます.

1.1 プレイヤー2がLという戦略を選んだ場合を考えます.プレイヤー1はTを選べば利得3,Bを選べば利得2です.したがってプレイヤー1はTを選びます(TがLに対する最適反応戦略).そこでTを選んだ時の利得3に下線を引きます.

プレイヤー2のLに対するプレイヤー1の最適反応戦略はT

1.2 プレイヤー2がMという戦略を選んだら?プレイヤー1はTを選べば利得0,Bを選べば利得1です.したがってプレイヤー1はBを選びます(BがMに対する最適反応戦略).そこでBの利得1に下線を引きます.

プレイヤー2のMに対するプレイヤー1の最適反応戦略はB

1.3 最後にプレイヤー2がRという戦略を選んだ場合を考えます.プレイヤー1はTを選んでも,Bを選んでも利得は2で同じです.この場合はTとBの利得2の両方に下線を引きます( TもBもRに対する最適反応戦略).

プレイヤー2のRに対するプレイヤー1の最適反応戦略はTとB

STEP2 プレイヤー1に対する検討が終わったので,次にプレイヤー2の立場で考えます.相手(プレイヤー1)のすべての戦略に対して,プレイヤー2の利得がもっとも高くなる戦略(最適反応戦略)をチェックし,利得に下線を引いて行きます.

2.1 プレイヤー1がTという戦略を選んだ場合を考えます.プレイヤー2はLを選べば利得4,Mを選べば利得2,Rを選べば利得0です.したがってプレイヤー2はLを選びます(LがTに対する最適反応戦略).そこでLの利得4に下線を引きます.

プレイヤー1のTに対するプレイヤー2の最適反応戦略はL

2.2 最後にプレイヤー1がBという戦略を選んだ場合を考えます.プレイヤー2はLを選べば利得2,Mを選べば利得3,Rを選べば利得9です.したがってプレイヤー2はRを選びます(RがBに対する最適反応戦略).そこでRの利得9の下に線を引きます.

プレイヤー1のBに対するプレイヤー2の最適反応戦略はR

STEP3これでプレイヤー1とプレイヤー2のすべてのチェックが終わりました.プレイヤーの両方の利得に下線が引かれている戦略の組がナッシュ均衡です!「

ナッシュ均衡は(T,L)と(B,R)

ナッシュ均衡は「プレイヤー1はTを選び,プレイヤー2はLを選ぶ」「プレイヤー1はBを選び,プレイヤー2はRを選ぶ」の2つです.このようにナッシュ均衡は複数出てくる場合があります(これが悩みの種).これを(T,L)と(B,R)のように,ベクトルのように書く場合もあります.

ナッシュ均衡は「戦略の組 (profile of strategies)」なので,戦略の組として答えます.「ナッシュ均衡は(3,4)と(2,9)です」などと答えては間違いです.それは利得の組ですから.「Tがナッシュ均衡」などと答えても間違いです.Tはプレイヤー1の戦略(a strategy of player 1)です.戦略の組み合わせではありません.