戦略形ゲームと利得行列

戦略形ゲームは,展開形ゲームと並ぶ非協力ゲームの表現形式です(参照:戦略形ゲームと展開形ゲーム).戦略形ゲームは,プレイヤー,戦略,利得の3つの要素から構成されます.すべてのプレイヤーは同時に戦略を選び,その結果,各プレイヤーの利得が決まります.戦略形ゲームの例として,次のような問題を考えてみましょう.

戦略形ゲームの例(コンビニ戦争1):2つのコンビニ,セレブ(セレブイレブン)とファミモ(ファミリーモール)が,まだコンビニがないA駅とB駅のどちらか一方に出店しようと考えている.コンビニを1日に利用する客はA駅が600人,B駅が300人である.セレブとファミモがもし違う駅を選べば,利用客を独占できる.しかし同じ駅に出店すると,ファミモが人気で,ファミモはセレブの2倍の客数を獲得できる.すなわち両方がA駅に出店すると,セレブ200人,ファミモ400人.B駅に出店すると,セレブ100人,ファミモ200人である.ここで客数を利得と考える.セレブとファミモはどちらの駅に出店するだろうか?

本題に入る前に言っておきたいのですが,別にこのページはコンビニの戦略の話をしたいのではなくて,ゲーム理論とは何かを話すための「例」ですからね.「両方に出店するというのはないのでしょうか」とか聞く人がいるけど(本当にたくさんいる),そうしたければ,そういう例を勝手に考えてください.むかし,あるビジネス系の雑誌に,こういう例を出したら,雑誌の編集部の人がコンビニの会社の人に聞きに行って,そしたら「うちには『客を取り合う』という発想はない.2つのコンビニに同じ駅に出店すると集積効果があって,利用客は増える」とか言われてしまったのですが,そうならば,そういう例を作ればいいですよ.でも増えたりしたら,例として分かりにくいじゃないですか.ここはリアリティを求めてるんじゃなくて,わかりやすい例にしてるんです.

で,本題です.上記の例の場合,戦略形ゲームの3要素(プレイヤー,戦略,利得)は

  • プレイヤー:セレブとファミモ
  • セレブの戦略:A駅に出店する,B駅に出店する
  • ファミモの戦略:A駅に出店する,B駅に出店する
  • 利得:上記に書かれている客数

のようになります.このようにプレイヤーが2人のゲームを2人ゲームと呼び,その中でも両プレイヤーの戦略の数が2つの場合は2✕2ゲーム(ツーバイツーゲーム,と呼ぶ)と呼ばれます.2✕2ゲームは,戦略形ゲームの中で最も簡単なゲームであると言えます.

「利得は上記に書かれている」と言われても見にくいので,このような2人戦略形ゲームを表すには,以下のような利得行列という表を使います.

利得行列

この表では,セレブが行(水平方向)を選択し,ファミモが列(垂直方向)を選択し,交わったセルの左側の数値がセレブの利得,右側の数値がファミモの利得を表します.例えば,セレブがA駅,ファミモがB駅を選ぶと…

セレブがA駅,ファミモがB駅を選択

このようになり,セレブの利得が600,ファミモの利得が300になることが分かります.

利得行列にはいろいろな書き方があり,下の図のようにセルを左下と右上に区切り,左下に第1プレイヤー(行を選ぶプレイヤー,今回はセレブ)の利得,右上に第2プレイヤーの利得を書く場合もあります.

利得行列の別の書き方