部分ゲーム完全均衡

部分ゲーム完全均衡について、ざっくりと説明します。

部分ゲーム完全均衡(Subgame Perfect Equilibrium、 SPE)とは「ある点から後がゲーム（部分ゲーム）とみなせるときには、プレイヤーはそのゲームのナッシュ均衡を選んでいる」と考えるゲームの解です。

次のようなゲームを考えてみましょう。

このゲームは最初にプレイヤー１がYかNかを選択。Nを選べば右上の戦略形ゲーム（同時ゲーム）に突入し、Nを選べばゲームは終了してプレイヤー1と2の利得が共に2となるゲームです。

このゲームの解はどうなると予想されるでしょう？プレイヤー１は最初の点で、Yを選んだときに、その結果がどうなるかを予想しなければなりません。右上の戦略形ゲームでは、ナッシュ均衡は(B、B)なので、プレイヤー1の利得は1になると予想されます。

• ナッシュ均衡の求め方はこちらにあります。
• このゲームは囚人のジレンマです。
• (B、B)はナッシュ均衡であるとともに支配戦略の組でもあります。

このことからプレイヤー１は最初の点でYを選べば利得は1、Nを選べば利得は2になるのでNを選ぶと考えられます。部分ゲーム完全均衡は「プレイヤー１は最初の点でYを選び、次の戦略形ゲームでプレイヤー１と２は共にBを選ぶ」となります。

部分ゲーム完全均衡を正確に学ぶためには、(1)展開形ゲームはどのように書けて、それを戦略形ゲームに変換するにはどうするのか、(2)展開形ゲームにおいて、ある点から後をゲーム（部分ゲーム）とみなせるのはどういうときか、を学ぶ必要があります。それはまた今度にします。今はこちらの動画を参考にしてください。

部分ゲーム完全均衡はナッシュ均衡の１つ

部分ゲーム完全均衡はナッシュ均衡の１つ（精緻化されたもの）です。例を使って、（ボンヤリとですが）説明してみましょう。

次のゲームを考えます。

このゲームは以下のようなゲームです：

• 最初にプレイヤー１がUかDを選びます。Uを選べばゲームは終わり、プレイヤー１と２の利得は１と３になります。
• プレイヤー１がDを選ぶと、プレイヤー２がLかRを選びます。Lを選べばゲームプレイヤー１と２の利得は0と1、Rを選べばプレイヤー１と２の利得は共に2となります。

このゲームは、プレイヤー１がUかDを選び、プレイヤー２がLかRを選ぶ戦略形ゲーム（同時のゲーム）と考えることもできます。つまり、以下のような利得行列をもつ戦略形ゲームと考えることができます。

ここで「交互にプレイする展開形ゲームを、同時にプレイする戦略形ゲームに変換できるのか？」という疑問があるかと思います。確かにそこが最大のポイントですね。確かにプレイヤー２は、プレイヤー１がDを選んだのを知ってから、LかRを選ぶわけです。しかし、プレイヤー２はゲームが始まる前に「もしプレイヤー１がDを選んだらどうするか」を決めておくことはできるはずです。またプレイヤー１は、「もしDを選んだらプレイヤー２はどうするか」を推測しなければ自分の選択を決めることができません。プレイヤー１の頭の中では、プレイヤー２がどうするかは、自分が選択をする前（ゲームが始まる前）に決まっていなければなりません。このように展開形ゲームでは「すべてのプレイが行われる前に、各プレイヤーはどの点で何が選ばれるかを決定しておく」として、戦略形ゲームとして考えることができるわけです。

この戦略形ゲームのナッシュ均衡は(U、L)と(D、R)の２つです。

一方、このゲームの部分ゲーム完全均衡はどうなるでしょう。プレイヤー２が行動する点は部分ゲームと考えることができます。プレイヤー２はLを選べば利得1、Rを選べば利得2ですからRを選びます。このプレイヤー2の行動を推測すると、プレイヤー1はDを選びます。

均衡の精緻化

ナッシュ均衡がすべて、部分ゲーム完全均衡になるわけではありません。ここで、部分ゲーム完全均衡ではない(U、L)というナッシュ均衡が、どういうものかを展開形ゲームとして（ゲームの木で）考えてみましょう。ゲームの木では以下のようになりますね。

確かにプレイヤー２は「プレイヤー１がUを選んだと予想したときは、Lを選んでもRを選んでも利得は同じ」です。しかし、このゲームは同時のゲームではありません。予想ではなく、実際にプレイヤー１がDを選んだ場合には、プレイヤー２は、もはやLを選ばずRを選ぶでしょう。

このように展開形ゲームを戦略形ゲームに変換すると、「プレイヤーが選択した行動の情報」を考慮せずに、プレイヤーの推測を考えることになってしまうように見えます（そう見えますが、本当にそうかどうかは、難しいところです）。

そのため、変換した戦略形ゲームのナッシュ均衡をそのまま解として考えると不完全で、展開形ゲームの構造を考慮して、ナッシュ均衡の中から適切でない解を除く必要があります。これを均衡の精緻化(equilibrium refinement)と呼びます。部分ゲーム完全均衡はナッシュ均衡の精緻化による解の１つです。

まとめ

• 部分ゲーム完全均衡は「ある点から後がゲーム（部分ゲーム）とみなせるときには、プレイヤーはそのゲームのナッシュ均衡を選んでいる」と考えるゲームの解
• 部分ゲーム完全均衡はナッシュ均衡の１つ
• ナッシュ均衡から、適切でない解を取り除き、解の候補を絞り込むことを均衡の精緻化と言う
• 完全情報ゲームにおいては、部分ゲーム完全均衡はバックワードインダクションによる解になります。

東京都立大学　2020ゲーム理論１　オンライン講義（2020：コロナ対応）

• ゲーム理論２_26 不完全情報ゲームと情報集合
• ゲーム理論２_27 展開形ゲームを戦略形ゲームに変換する
• ゲーム理論２_28 部分ゲーム完全均衡とは
• ゲーム理論２_29 部分ゲーム完全均衡を求める
• ゲーム理論２_30 複数の部分ゲーム完全均衡