クールノー競争とベルトラン競争入門(3)：クールノー競争の価格・生産量と社会的総余剰

ここでは独占市場における価格と生産量の決定を理解していることを前提にして、２社のクールノー競争の価格と生産量の決定、および社会的総余剰の計算について説明します。

クールノー競争の価格と生産量の決定：モデル

ここでは同質財を販売している２社の生産量競争を考えます。一般にクールノー競争と呼ばれるのは、このモデルです（不完全競争市場の分類）。

• 企業AとBが同じ製品（同質財）を販売するとします。AとBの生産量をそれぞれ\(x_A、x_B\)とし、AとBは\(x_A、x_B\)を決定するとしましょう。
• 市場全体の生産量を\(x=x_A+x_B\)に対して、その価格\(p\)は$$p=a-bx$$で与えられるとします。
• ここで製品を1単位の費用（限界費用）はAもBも\(c\)で同じであり、生産量にかかわらず一定とします。簡単にするため固定費は考えません。

ここでAとBは利益を最大にするように生産量を決定すると考えます。これがクールノー競争です。

さてAとBは生産量(x_A、x_B)をいくらにするでしょうか。

問題の解法

問題は以下のようにして解くことができます。

• 企業Aの利益を\(\pi_A\)とおく。ここで（利益）＝（収入）－（費用）であり、収入は（価格）\(\times\)（生産量）、費用は（限界費用）\(\times\)（生産量）となります。したがって$$\pi_A=px_A-cx_A$$となります。
• この\(\pi_A\)を最大にする\(x_A\)を考えます。そこで\(p=a-bx\)を代入し、さらに\(x=x_A+x_B\)に注意すると\[ \begin{align} \pi_A &= px_A-cx_A \\ &=(a-bx)x_A-cx_A \\&=
  \{a-b(x_A+x_B)\}x_A-cx_A\\&=-bx_A^2-bx_Ax_B+(a-c)x_A　\tag{1} \end{align}\]となります。
• この式(1)を最大にする\(x_A\)を求めるには、ざっくり言うと\(x_A\)で微分
  （正確には偏微分）して0になるところを求めれば良い。(1)を\(x_A\)で微分すると、\(-2bx_A-bx_B+(a-c)\)となります。したがって\[-2bx_A-bx_B+(a-c)=0\]を解けば良く、これより\[x_A=-\frac{1}{2}x_B+\frac{a-c}{2b} \tag{2}\]となります。
• 式(2)は、企業Aの最適反応関数と呼ばれます。式(2)は\(x_B\)が与えられたときに企業Aの利益を最大にする企業Aの生産量を表しています。したがって、企業Bの生産量が決まれば、企業Aとの最適な生産量（答）が決まるのですが、企業Bの生産量がいくらになるか分かりません。そこで企業Bが利益を最大にする生産量を同様に求めてみます。
• 企業Bの利益を\(\pi_B\)とおきます。$$\pi_B=px_B-cx_B$$であり、企業Aの場合と同様に\(p=a-bx\)を代入して計算し、$$\pi_B=-bx_B^2-bx_Ax_B+(a-c)x_B$$を得ます。さらに\(x_B\)で微分して0になるところを求めると、\[x_B=-\frac{1}{2}x_A+\frac{a-c}{2b} \tag{3}\]となります。
• この式(3)は、企業Bの最適反応関数と呼ばれます。企業Aと同様に\(x_A\)が与えられたときに、企業Bの利益を最大にする企業Bの生産量を表しています。
• ここで、企業Aは企業Bの生産量が分からなければ、利益を最大にする生産量が分からず、企業Bは企業Aの生産量が分からなければ、利益を最大にする生産量が分かりません。ここでゲーム理論のナッシュ均衡の概念により解を求めるわけです。ナッシュ均衡は、お互いが最適反応戦略を選び合うような戦略の組み合わせで、ここでは式(2)と式(3)を同時に満たす\(x_A\)、\(x_B\)となります。
• 式(2)と式(3)を同時に満たす\(x_A\)、\(x_B\)は、これらを連立方程式で解くことによって求められます。式(3)の\(x_B\)を式(2)に代入して計算すると\(x_A=-\frac{1}{4}x_A+\frac{a-c}{4b}\)となり、これから\(x_A=\frac{a-c}{3b}\)を得ます。またこれを式(2)に代入して、\(x_B=\frac{a-c}{3b}\)を得ます。
  このときの価格は\[p=a-bx=a-b(x_A+x_B)=\frac{a+2c}{3} \]となります。
• このとき企業Aの利益は\[ \begin{align} \pi_A &= px_A-cx_A =(p-c)x_A\\ &=\left(\frac{a+2c}{3}-c\right)\left(\frac{a-c}{3b}\right)=\frac{(a-c)^2}{9b} \end{align}\] となります。同様に企業Bの利益も同じになります。

まとめますと、クールノー競争における企業Aと企業Bの生産量は\(x_A=x_B=\frac{a-c}{3b}\)となります。これをクールノー均衡と呼びます。クールノー均衡における価格は\(p=\frac{a+2c}{3}\)、各企業の利益は\(\pi_A=\pi_B=\frac{(a-c)^2}{9b}\)となります。

消費者余剰、社会的総余剰

独占市場における、消費者余剰、生産者余剰、社会的総余剰について示します。

市場全体の取引量が\(x=x_A+x_B=\frac{2(a-c)}{3b}\)であることに注意すると、上記で求めたクールノー競争の価格と生産量と企業の限界費用は、以下の図で示すことができます。

消費者余剰は、図の青色で示された部分の三角形です。

三角形の底辺の長さは\(\frac{2(a-c)}{3b}\)、高さは\[ a-\frac{a+2c}{3}=\frac{2(a-c)}{3} \]ですから、三角形の面積は\[ \frac{1}{2} \times\frac{2(a-c)}{3b} \times \frac{2(a-c)}{3}=\frac{2(a-c)^2}{9b} \]となります。

企業の利益は、図の緑色の部分の長方形の面積です。

長方形の高さ（価格－限界費用）は、\(\frac{a+2c}{3}-c=\frac{a-c}{3}\)、ヨコの長さは\(\frac{2(a-c)}{3b}\)ですので、長方形の面積は\[\frac{a-c}{3}\times\frac{2(a-c)}{3b}=\frac{2(a-c)^2}{9b}\]となります。先に求めた企業の利益を合計した値（\(\pi_A+\pi_B\)）と一致することがわかりますね。これを生産者余剰とも呼びます。

社会的総余剰は、消費者余剰と生産者余剰の総和です。したがって社会的総余剰は
\[\frac{2(a-c)^2}{9b}+\frac{2(a-c)^2}{9b}=\frac{4(a-c)^2}{9b}\]です。