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戦略形ゲームは、展開形ゲームと並ぶ非協力ゲームの表現形式です（参照：戦略形ゲームと展開形ゲーム）。戦略形ゲームは、プレイヤー、戦略、利得の３つの要素から構成されます。すべてのプレイヤーは同時に戦略を選び、その結果、各プレイヤーの利得が決まります。

戦略形ゲームの例

戦略形ゲームの例として、次のような問題を考えてみましょう。

戦略形ゲームの例（コンビニ戦争１）：２つのコンビニ、セレブ（セレブイレブン）とファミモ（ファミリーモール）が、まだコンビニがないA駅とB駅のどちらか一方に出店しようと考えている。コンビニを１日に利用する客はA駅が600人、B駅が300人である。セレブとファミモがもし違う駅を選べば、利用客を独占できる。しかし同じ駅に出店すると、ファミモが人気で、ファミモはセレブの2倍の客数を獲得できる。すなわち両方がA駅に出店すると、セレブ200人、ファミモ400人。B駅に出店すると、セレブ100人、ファミモ200人である。ここで客数を利得と考える。セレブとファミモはどちらの駅に出店するだろうか？

本題に入る前に言っておきたいのですが、別にこのページはコンビニの戦略の話をしたいのではなくて、ゲーム理論とは何かを話すための「例」ですからね。「両方に出店するというのはないのでしょうか」とか聞く人がいるけど（本当にたくさんいる）、そうしたければ、そういう例を勝手に考えてください。むかし、あるビジネス系の雑誌に、こういう例を出したら、雑誌の編集部の人がコンビニの会社の人に聞きに行って、そしたら「うちには『客を取り合う』という発想はない。２つのコンビニに同じ駅に出店すると集積効果があって、利用客は増える」とか言われてしまったのですが、そうならば、そういう例を作ればいいですよ。でも増えたりしたら、例として分かりにくいじゃないですか。ここはリアリティを求めてるんじゃなくて、わかりやすい例にしてるんです。

で、本題です。上記の例の場合、戦略形ゲームの３要素（プレイヤー、戦略、利得）は

• プレイヤー：セレブとファミモ
• セレブの戦略：A駅に出店する、B駅に出店する
• ファミモの戦略：A駅に出店する、B駅に出店する
• 利得：上記に書かれている客数

のようになります。このようにプレイヤーが２人のゲームを２人ゲームと呼び、その中でも両プレイヤーの戦略の数が２つの場合は２✕２ゲーム（ツーバイツーゲーム、と呼ぶ）と呼ばれます。２✕２ゲームは、戦略形ゲームの中で最も簡単なゲームであると言えます。

「利得は上記に書かれている」と言われても見にくいので、このような２人戦略形ゲームを表すには、以下のような利得行列という表を使います。

この表では、セレブが行（水平方向）を選択し、ファミモが列（垂直方向）を選択し、交わったセルの左側の数値がセレブの利得、右側の数値がファミモの利得を表します。例えば、セレブがA駅、ファミモがB駅を選ぶと…

このようになり、セレブの利得が600、ファミモの利得が300になることが分かります。

利得行列にはいろいろな書き方があり、下の図のようにセルを左下と右上に区切り、左下に第1プレイヤー（行を選ぶプレイヤー、今回はセレブ）の利得、右上に第2プレイヤーの利得を書く場合もあります。

ゲームを解く

戦略形ゲームにおいて、「プレイヤーが選ぶ戦略の組合せはどこになるのか」を求めることをゲームを解くと呼びます。ゲームを解くポイントは、支配戦略とナッシュ均衡です。

• 支配戦略
• ナッシュ均衡（ざっくりした説明）
• ナッシュ均衡の求め方：2人ゲームの利得行列の場合
• ナッシュ均衡を理解する演習
• じゃんけんの必勝法と行動ファイナンス・行動経済学
• 囚人のジレンマ
• 調整ゲーム
• チキンゲーム
• ゲーム理論における混合戦略

ものすごく乱暴に言うと「ゲーム理論（非協力ゲーム）には、戦略形ゲームと展開形ゲームがあり、戦略形ゲームは利得行列で表し、展開形ゲームはゲームの木で表す」ということになります。乱暴すぎて、かなり間違ってますが、最初から細かいことは覚えられないので、ざっくりこうしておきましょう。

さらに戦略形と展開形について、初めて学ぶときは

• 戦略形ゲームは、プレイヤーが同時に行動を選ぶ「同時ゲーム」。代表的なゲームはじゃんけんなど。
• 展開形ゲームは、プレイヤーが順番で行動を選ぶ「交互ゲーム」を含む「すべてのゲームを表現する」ゲーム。代表的なゲームはチェスや将棋など。

くらいに考えると良いです。これも乱暴すぎますけど。

ゲーム理論では「同時か、逐次か」と言った「時間」が重要なのではなく、相手の行動が観察できるかどうかが重要です。例えば、２人でじゃんけんをするとき、

1. まず１人（先手）が相手に分からないように「ぐー、ちょき、ぱー」のどれかを選んで紙に書いて封筒に入れ、
2. もう１人（後手）は封筒を開けずに 後から「ぐー、ちょき、ぱー」を選び
3. 先手の書いた紙が公表されて勝負をする

としましょう。この場合は、時間としては交互に行動していますが、同時にじゃんけんをしているのと変わりありません（同時にじゃんけんすると、後出しっぽくなる人がいるのを考えると、こっちのほうがずっと「同時」かも知れない） 。先手は後手の行動を知らず、後手も先手の行動を知りません。この場合は戦略形ゲームになっていると言えます。

このように（すべてのプレイヤーが）他のプレイヤーの行動が観察できずに行動を選ぶ場合は戦略形ゲームです。オークションや競りを例に挙げれば、封印された紙に価格を書いて、最後に競り人がそれを開いて一番高額の人に出品された物を売る、と言った「封印入札」なども戦略形ゲームの典型的な例と言えます。

これに対して、チェスや将棋や囲碁では、自分より前に行動した人がどのような行動をしたかがすべて分かります。このようなゲームは完全情報ゲームと呼ばれますが、展開形ゲームで分析されるゲームの代表例です。オークションや競りでは、オークションハウスでの絵画の取引やマグロの競りなど、誰かが値段をつけたのを見て、それより高く買いたい人は更に高い価格をつける．．．などの「イングリッシュオークション」は展開形ゲームの典型例と言えます。同じ競りやオークションでも、ルールや形式によって違うゲームと考えられる点に注意です。

戦略形ゲームは「利得行列」と呼ばれる道具を用いて表現し、展開形ゲームは「ゲームの木」と言う道具を用いて表現します。戦略形ゲームと展開形ゲームについては、別の投稿で詳しく説明します。

• 戦略形ゲームとは？利得行列とは？
• 支配戦略
• ナッシュ均衡
• 展開形ゲームとは？ゲームの木とは？

ゲーム理論は非協力ゲーム(non-cooperative game)と協力ゲーム(cooperative game)の２つの理論に分けられます。

ゲーム理論は、経済学の中で大きく発展したのですが、その経済学の中で扱われているのは、ほとんど非協力ゲームです。このため「ゲーム理論」と言う言葉は、非協力ゲームのことを指すことも多いです。実際に、ゲーム理論の代表的なテキストTadelis(2012)、Fudenberug and Tirole(1991) などでも協力ゲームは扱われていません。これに対し、近年ゲーム理論の研究が盛んな計算機科学の分野では、協力ゲームもそれなりに扱われ、研究されているように見えます。

非協力ゲームと協力ゲームの違い

非協力ゲームでは、プレイヤーが利得が大きくなるように行動を選びます。そして、各プレイヤーが行動を選んだ組み合わせに対し、プレイヤーの利得が与えられています。その中で、プレイヤーがどのように行動するかを明らかにすることが非協力ゲームの目的であると言えます。例えば非協力ゲームの代表的な例である囚人のジレンマは：

• プレイヤーはA君、B君の2人
• 各プレイヤーは「協力する」か「協力しない」かの2つの行動から1つを選ぶ
• 各プレイヤーは次の順番に結果を好む
  • 自分が協力せず、相手が協力すれば　4点
  • 自分も相手も協力すると　3点
  • 自分も相手も協力しないと　０点
  • 自分は協力して、相手が協力しないと　１点

のような感じです。利得行列と呼ばれる表で、これを表すと以下のようになります。

というモデルです。ここではプレイヤーの行動と、その行動の帰結に対して、自分が何を好むかが与えられています。このような設定で、各プレイヤーがどのような行動を選ぶのかを明らかにすることが非協力ゲームであると言えます。

これに対し協力ゲームは、プレイヤーの提携（集合、結託、グループなどと呼ばれる）に対する利益が与えられています。例えば、

• プレイヤーはA君、B君、C君の３人。大道芸をして稼ごうとしている。
• A君、B君、C君は１人ずつだと１日の利益は、それぞれ2千円、３千円、５千円
• A君とB君が一緒に組むと（これが「提携」）利益は１万５千円になる、B君とC君だと１万円、A君とC君だと２万円。
• A君、B君、C君が３人で組むと、利益は３万円

と言ったモデルです。上記の設定は利得行列の代わりに、以下のような表で書くことができます。

上記の表は特性関数と呼ばれることから（本当は表ではなく、関数で書く）、協力ゲームは特性関数形ゲームとも呼ばれます。

非協力ゲームと違い、プレイヤーには選ぶ「行動」がなく、提携に対する利益だけが与えられています。このような設定で、全体の利益を個人にどう配分するべきか（配分されるのか）、を明らかにすることが協力ゲームであると言えます。 上記であれば3人で協力して2万円の利益が得られたときに、その利益はA,B,Cにどのように分配されるのか、を明らかにすることが協力ゲームの目的であると言えます。

※「どのような提携が最終的に組まれるのか（全体提携が組まれるのか）」「そのとき利益はどのように分配されるのか」 を問題にすることもある。

なぜこのような違いが？

協力ゲームの特性関数は、もともとは非協力ゲームをベースにもとにして作られていました。例えば上の囚人のジレンマで特性関数を作ってみましょう。（本当は３人のゲームでやりたいのですが、３人の非協力ゲームや利得行列はややこしいので。）

各プレイヤーは個人では、最低限の利得として0を獲得できます。一方、2人が協力すると合計の利益として6が獲得できます。したがって、囚人のジレンマの特性関数は

と書けます.

あれれ「書けます」とは言ったものの、本当にこれでいいのでしょうか？実は、ここに3つの問題点があることが分かります。

問題点１：全体の提携の利益を６にしているが、そもそも２人が協力できるなら囚人のジレンマなんて考える必要がない！個人の利益も0でいいの？

協力ゲームでは、提携の利益が本当に実現するのか、という問題が残ります。このため協力ゲームは提携を組んだときにその提携の利益が確実に得られる「拘束的合意」と呼ばれる合意が存在することが、前提になっているとも言われます。

このようにもともとは協力ゲームは、非協力ゲームの設定が与えられ、そこから各提携の利益が拘束的合意を前提に導かれるという形式が、出発点でした。しかしそれならば、その非協力ゲーム自身を分析して、それを個人の分配そのものと考えれば良いので、なんで非協力ゲームを考える必要があるの？、というわけです。

問題点２：提携の利益を考えるときに2人の利益を足している

これ足せるの？そして分配するときに、足した合計の利益を分けられるの？という問題があります。これについては、ゲーム理論における効用とは何か、というさらに深い問題に入り込まなければならないので、ここでは省略します。このような特性関数ゲームでは、各プレイヤーにとって価値尺度を共通して測れる（貨幣のような）別払い(side payment)と呼ばれる方法が存在することが前提とされます。

問題点３：たとえ拘束的合意と別払いがあったとしても、３人以上のゲームで、提携内と提携外でプレイヤーが何を選んだ場合を、提携の利益と考えるのか？

という問題があります。例えばA,B,Cの３人がいてAとBの提携の利益を求めたいとき、拘束的合意があって、AとBは２人の合計利益を最大にするように行動すると仮定しても、Cがどの行動を選ぶかで利益が異なってしまいます。

フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンが考えた古典的なゲーム理論では、提携をまとめて１人のプレイヤーと考え、提携外のプレイヤーをまとめて１人のプレイヤーと考え、問題を２人ゲームに帰着させました。そして、そのゲームの解を提携の利益としています。しかし、その考えでいいのかという問題はありますし、フォン・ノイマン達が考えたゲームは零和ゲームだったので、２人ゲームの解のプレイヤーの利益は一意に決まるのですが、非零和ゲームではナッシュ均衡は複数あることもあり、利得も一意には決まりません。

協力ゲームは規範的な問題には効果的

目的によっては、協力ゲームのようなモデル化が便利な場合もあります。特に「どのような行動が選ばれて、どのような利益が得られるか」という「どうなるか（記述的理論）」ではなく、「提携ごとの利益から、どのように利益が各プレイヤーに配分されるべきか」という「どうあるべきか（規範的理論）」として活用できることが、協力ゲームの利点でもあります。

協力ゲームも非協力ゲームも、共にゲーム理論として発展してゆくべきだと私は考えています。