部分ゲーム完全均衡について、ざっくりと説明します。
部分ゲーム完全均衡(Subgame Perfect Equilibrium, SPE)とは「ある点から後がゲーム（部分ゲーム）とみなせるときには、プレイヤーはそのゲームのナッシュ均衡を選んでいる」と考えるゲームの解です。
次のようなゲームを考えてみましょう。
このゲームは最初にプレイヤー１がYかNかを選択。Nを選べば右上の戦略形ゲーム（同時ゲーム）に突入し、Nを選べばゲームは終了してプレイヤー1と2の利得が共に2となるゲームです。
このゲームの解はどうなると予想されるでしょう？プレイヤー１は最初の点で、Yを選んだときに、その結果がどうなるかを予想しなければなりません。右上の戦略形ゲームでは、ナッシュ均衡は(B,B)なので、プレイヤー1の利得は1になると予想されます。
このことからプレイヤー１は最初の点でYを選べば利得は1、Nを選べば利得は2になるのでNを選ぶと考えられます。部分ゲーム完全均衡は「プレイヤー１は最初の点でYを選び、次の戦略形ゲームでプレイヤー１と２は共にBを選ぶ」となります。
部分ゲーム完全均衡を正確に学ぶためには、(1)展開形ゲームはどのように書けて、それを戦略形ゲームに変換するにはどうするのか、(2)展開形ゲームにおいて、ある点から後をゲーム（部分ゲーム）とみなせるのはどういうときか、を学ぶ必要があります。それはまた今度にします。今はこちらの動画を参考にしてください。
部分ゲーム完全均衡はナッシュ均衡の１つ
部分ゲーム完全均衡はナッシュ均衡の１つ（精緻化されたもの）です。例を使って、（ボンヤリとですが）説明してみましょう。
次のゲームを考えます。
- 最初にプレイヤー１がUかDを選びます。Uを選べばゲームは終わり、プレイヤー１と２の利得は１と３になります。
- プレイヤー１がDを選ぶと、プレイヤー２がLかRを選びます。Lを選べばゲームプレイヤー１と２の利得は0と1、Rを選べばプレイヤー１と２の利得は共に2となります。
このゲームは、プレイヤー１がUかDを選び、プレイヤー２がLかRを選ぶ戦略形ゲーム（同時のゲーム）と考えることもできます。
ここで「交互にプレイする展開形ゲームを、同時にプレイする戦略形ゲームに変換できるのか？」という疑問があるかと思います。確かにそこが最大のポイントですね。確かにプレイヤー２は、プレイヤー１がDを選んだのを知ってから、LかRを選ぶわけです。しかし、プレイヤー２はゲームが始まる前に「もしプレイヤー１がDを選んだらどうするか」を決めておくことはできるはずです。またプレイヤー１は、「もしDを選んだらプレイヤー２はどうするか」を推測しなければ自分の選択を決めることができません。プレイヤー１の頭の中では、プレイヤー２がどうするかは、自分が選択をする前（ゲームが始まる前）に決まっていなければなりません。このように展開形ゲームでは「すべてのプレイが行われる前に、各プレイヤーはどの点で何が選ばれるかを決定しておく」として、戦略形ゲームとして考えることができるわけです。
この戦略形ゲームのナッシュ均衡は(U,L)と(D,R)の２つです。
一方、このゲームの部分ゲーム完全均衡はどうなるでしょう。プレイヤー２が行動する点は部分ゲームと考えることができます。プレイヤー２はLを選べば利得1、Rを選べば利得2ですからRを選びます。このプレイヤー2の行動を推測すると、プレイヤー1はDを選びます。
均衡の精緻化
ナッシュ均衡がすべて、部分ゲーム完全均衡になるわけではありません。ここで、部分ゲーム完全均衡ではない(U,L)というナッシュ均衡が、どういうものかを考えてみましょう。図では以下のようになりますね。
このナッシュ均衡では、各プレイヤーが(U,L)が起こると予想しています。プレイヤー２は、プレイヤー１がUを選ぶと予想すれば、Lを選んでもRを選んでも利得は同じなので、Lを選んでも悪くはありません。そして、プレイヤー1は、プレイヤー2がLを選ぶと予想すれば、Uを選ぶことが最適です。したがって、この戦略の組は「すべてのプレイヤーにとって、相手がその戦略を選ぶならば、自分にとって最適な戦略を選んでいる」ようなナッシュ均衡になるのです。
確かにプレイヤー２は「プレイヤー１がUを選んだと予想したときは、Lを選んでもRを選んでも利得は同じ」です。しかし、このゲームは同時のゲームではありません。予想ではなく、実際にプレイヤー１がDを選んだ場合には、プレイヤー２は、もはやLを選ばずRを選ぶでしょう。
このように展開形ゲームを戦略形ゲームに変換すると、「プレイヤーが選択した行動の情報」を考慮せずに、プレイヤーの推測を考えることになってしまうように見えます（そう見えますが、本当にそうかどうかは、難しいところです）。
そのため、変換した戦略形ゲームのナッシュ均衡をそのまま解として考えると不完全で、展開形ゲームの構造を考慮して、ナッシュ均衡の中から適切でない解を除く必要があります。これを均衡の精緻化(equilibrium refinement)と呼びます。部分ゲーム完全均衡はナッシュ均衡の精緻化による解の１つです。
- 部分ゲーム完全均衡は「ある点から後がゲーム（部分ゲーム）とみなせるときには、プレイヤーはそのゲームのナッシュ均衡を選んでいる」と考えるゲームの解
- 部分ゲーム完全均衡はナッシュ均衡の１つ
- ナッシュ均衡から、適切でない解を取り除き、解の候補を絞り込むことを均衡の精緻化と言う
- 完全情報ゲームにおいては、部分ゲーム完全均衡はバックワードインダクションにいよる解になります。