カテゴリー: 賭けとゲームの科学

（以前のサイト（2010年頃）に人気が高かった記事です。内容が古くなってしまったのですが、未だにアクセスも多いようなので、再度掲載します。内容が古いことに注意してください。）

番号は予測できないが、期待値が高くなる番号はある？

ナンバーズの番号を予測する？では「ナンバーズの当選番号の系列を見ると偏りがあって予測できそうな気になることもあるが、それは乱数や確率に対する錯覚である」という話をしました。ナンバーズの当選番号はほぼランダムで、当選番号を予測する方法はないと考えられます。しかしナンバーズでは、その当選番号を選んだ人が少なければ、当選者の賞金は多くなります。これは賭けられた金額を（主催者が控除した後に）当選者で分けるナンバーズの仕組みによるものです。したがってナンバーズでは皆が選ばない「不人気な数」を選ぶことで賞金が高くなると考えられます。賭けの分類において、ナンバーズを「勝つチャンスは完全に運によるが、利得は技術により高くなる」というクラスに分類した理由です。

　ナンバーズ３のストレート（3桁の数字をその順番も含めて当てる）を例にして、人気・不人気な数を考えてみます。表１は、第41回から第600回までの560回のナンバーズのうち、いくつかの条件に当てはまる当選番号の出現回数と賞金の平均金額を表にしたものです。（最初の40回をはずしたのは、このような「くじ」は開始直後には傾向が安定しないと考えたからです。）

「４と9の両方がつき、同じ数が２つ並び、日付に読めない」数を狙え

560回すべての平均賞金額は98,747円です。当選確率が1000分の１であることを考えると期待値は約99円です。ナンバーズは200円で、主催者の控除率は約50%なので、期待値はまさに理論通りであることが分かります。ちなみに、通常の宝くじも控除は約50%で、宝くじはわりに合わないギャンブルであることが分かります。

どんな数が人気・不人気なのか考えてみましょう。まずロトなどでも知られていることですが、人は誕生日や記念日などをラッキーナンバーとして選ぶことが多いようです。したがって、日付に読める数に比べ、日付に読めない数は人気がないと考えられます。例えば、私の誕生日は6月28日ですが、これに相当する628などは日付に読める数です。これに対し、一般的に下二桁が32以上の数は日付に読めません。ここで3月5日などは305と考え、035とは読まないこととしました。表を見ると、日付に読める数は平均を下回り、読めない数は平均を上回ることから、この考え方がある程度正しいことが推測されます。

またホテルの部屋番号などで分かるように、日本人は「死」を意味する４や「苦」を意味する９という数を忌み嫌う傾向にあるため、このような数も不人気と考えられます。確かに４や９がつく数も平均を上回っており、特に４と９の両方がつく数は111,664円と高い平均賞金額となります。

同じ数が3つ並ぶ数字は560回のうち8回出ていますが、いずれも賞金はぐっと低くなります。例えば第309回には777が出ていますが賞金は57,100円です。第600回までの最低賞金額は第476回の39,800円ですが、この時の当選番号は111です。ナンバーズで３つ同じ数字となる数を選ぶほど馬鹿なことはない。これに対し、同じ数が2つだけある数字の賞金は非常に高くなることが分かります。これらは人気・不人気だけではなく、ボックス・ストレートに対するナンバーズの賞金配分の仕方にも理由があるかもしれませんが、詳細は分かりません。

これらをすべて合わせて「４と9の両方がつき、同じ数が２つ並び、日付に読めない」という条件を満たす数（994,494など）を見てみると、このような数は4回出ており平均賞金額は155,650円と非常に高くなることが分かります。

ちなみに表２は第1回から600回までのナンバーズの高額賞金のベスト10です。この表を見ても「2つ同じ数があり、４か９がつき、日付に読めない」数は賞金が高いことが裏付けられます。ちなみに最高金額は第2回の988で、初期の頃の不安定さも重なって高額の当選金になっています．．．

ナンバーズのちょっと良い数が分かりました。しかし残念ながらこのような不人気番号は、それが知れると皆が選ぶために人気番号となってしまいます。もう、遅いかもしれません。これについては機会をみて、もう少し考察を加えてみたいと思います。（じゃんけんに必勝法と．．．も参照してください）。

いやそれより、１番不人気な「2つが同じ数で日付に読めずなおかつ４か９が付く数字」を買っても期待値はかなりマイナスです.そこが問題ですよね…

このような傾向は既に知られており、「スポーツくじと宝くじの賭けの市場の効率性」,ファイナンスハンドブック 18章,今野浩・古川浩一監訳,1997、朝倉書店（私が翻訳）でも、同様の傾向が述べられています。

（参考文献）「スポーツくじと宝くじの賭けの市場の効率性」,ファイナンスハンドブック 18章,今野浩・古川浩一監訳,1997、朝倉書店。（原本はJarrow, R. A., Masksimovic, V. and Ziemba W. T. eds.,Handbooks in Operations Ressearch and Mangement Science,vol.9 Finance, Ch18.）

白川浩先生の講演

このサブサイト「賭けの科学」における賭けの定義を

「賭け」とは、金銭を利得とするゼロサムゲームである

とさせて頂きました。これは賭けの定義というよりは、このサイトが扱う対象の定義と考えた方が良いかもしれません。

さてこの定義を書きながら思い出したのは、東京工業大学に理財工学研究センターが設立されたときの白川浩先生の講演です。白川浩先生は、私の出身である東工大経営工学専攻の森研究室の先輩で、若くして亡くなられた研究者です。彼の研究者人生は、今野浩著「すべて僕に任せてください―東工大モーレツ天才助教授の悲劇」に壮絶に描かれているので、ぜひ読んでみてください。私が見た白川さん像は、今野先生が描くものと必ずしも一致していませんが。

白川さんは、東工大の理財工学研究センターの設立に尽力され、その設立時の中心となられました。その設立記念かなんかのシンポジウムに私は出席し、そこで白川先生は基調講演のようなことをされていました（記憶は曖昧）。白川先生が、その講演で強調されていたのは「金融工学で扱う対象はゼロサムゲームではない」ということでした．．．私は、この話にたいそう感銘を受け、回りを見渡したのですが、回りは皆んな「何を言っているのか、分からない」という感じでした。出席者の多くは、東工大の方、もしくは金融工学関係者の方で、経済学の方はほとんどいなかったように思えます。したがって彼が言っている意味、そして、その意図についてはほとんど理解されていないように感じました。白川先生の言葉を私なりに解釈してみると、以下のようになります。

当時、金融工学や理財工学は、ギャンブルに勝つための方法を研究していると言う人が多くおりました（今でもそうでしょうかね）。特に当時の東工大は「ものつくりこそが重要」と考えていて、金融工学という分野を東工大が扱うには反対の者が多かったと聞きます。今野先生の著書「ヒラノシリーズ」に、この話がいっぱい出てきます。「ものを作ることは経済を発展させ、人々を幸せにするが、金融工学はそうではない。個人のお金儲けのための学問ではないか、そんなものをやるのはケシカラン」と、そう考える者も多かったのです。

白川先生は「金融市場とは、限られた資金を本当に必要とする企業や生産者に回すことで経済を成長させ、皆んなが幸せになるためにあるものだ。しかし、経済や投資には不確実性があり、それによって高いリスクが投資を妨げたり、多くのお金が一瞬にして失われたりする。金融工学は、金融市場での取引におけるリスクをコントロールし、リターンを大きくすることによって、多くの人が幸せになることを目指す学問である。誰かが儲けて、誰かが損をするゼロサムゲームを扱うのではない、皆が幸せになるウインウインのノン・ゼロサム・ゲームを扱うのだ」と言いたかったのではないでしょうか。「良いものを作る」だけではなく、良いものを作るところに資金が回らなければ産業も経済も発展しない。東工大にこそ金融工学は必要なんです、と理財工学研究センターの開設にあたって、東工大の先生方にそう言いたかったんではないか、と思ったのです。

だのに、なぜ？

「だのにー、なぜー♪」は「若者たち」という有名な演歌の一節で、子供の頃にこの「だのにー」ってとこがすごく引っかかってました。「こんな言葉を、歌詞に使っていいのか？」と（「だのに」は、ちゃんと辞書に載っているそうです）。

白川先生の気持ちを知り、良い話をしておきながら、だのに、なぜー、私はこのサイトで、非生産的なゼロサムゲームである「賭け」について語ってしまうのでしょうか？

それは、その答はおいおい述べて行く（これから考えていく）ことにしたいと思います。

20回までのナンバーズ３の番号の60個の数字を考察する

ナンバーズは物理的な機械でランダムに数が選ばれるため、競馬やTOTOなどと異なり当選番号を予測することができないと考えられます。しかし、過去の当選番号の系列を調べてみると、傾向があるように思えて番号が予測できるような気がしてきます。

このような「確率・統計上のゆらぎ」と「人間の幻想」については多くの文献が考察をしていますが、ここでは、１つの例を取りあげ、このような幻想について考えてみたいと思います。

このような傾向の中で一番単純なものは、頻度の多い数と少ない数を調べるものです。ここでは、ナンバーズ3の20回目までの当選番号において、どの数字が何回出たかを調べながら、このことを考えてみます。皆さんもここで、ナンバーズが始まって、まだ20回の時の気持ちになり、考えてみてください。

ナンバーズ３は1回の抽選で３つの数字が選ばれて、それを当てるくじです。20回までには、合計60個の数字が出現します。以下の表1には20回までの当選番号、表2には各数字の出現個数をまとめました。

ここで20回目までの当選番号を見ると、6が1回しか出ていません。20回までには全部で60個の数字があり、平均で１つの数字は6回も出現するのはずなのに、たったの１回！これは何らかの傾向があると言わざるを得ない！という気になってきます。

まず、これはそんなに起こり得ない現象なのでしょうか？そこで10個の数から、でたらめに１つ数字が60回選ばれる時に「6」が１回以下しか出ない確率を求めてみましょう。まずはじめに「6」が1回も出ない確率を求めてみると、これは6以外の数字が60回すべて選ばれる確率であり、$$0.9^{60}=0.002$$ となります。次に「6」が1回だけ出る確率を計算するとです。合計すると「6」が１回以下しか出ない確率は$$_1 C_{60}\times 0.1 \times 0.9^{59}=0.014$$で、1.4%の確率でこのような現象が起こることが分かります。しかし、「6」に限らずに、少なくとも１つ以上の数字が1回以下しか出ない確率と考えると更に高くなるわけで(約14%)、このようなことは決して珍しい事ではないことが分かります。

20回目以降に６が出やすいわけでも、出にくいわけでもない

20回目以降に６が出やすいわけでも、出にくいわけでもない
20回目まで、ほとんど6は出ていない。しかもそれ以降も6の出現確率は低い。これではやっぱり6が出にくいのかと言えば、そうではありません。20回目までの6の出現比率が1.7%であったのに対して、600回目までの合計の出現比率は9.1%になり10%にぐっと近づいていることが分かります。数の出現比率が10%に近づくのは、21回目から600回目までの全体の個数が多くなり、20回目までの影響が無視できるほど小さくなったからで、6が多く出たからではないのです。6に限らずすべての数字の出現比率を見てみると、20回目まででは1.7%から18.3%と幅があるのに対し、600回目になると9.1%から11.4%と、10%の周りに近づいていることが分かります。

大数の法則から、サンプル数が多くなれば10個の数の出現比率は確率上の平均値である10%にに近づいて行きます。しかし、平均値に近づくまでにはかなりのサンプル数が必要となることが分かります。単純な数の出現比率だけでこうですから、「3が出た次の回には6が出やすい」「前々回に3が十の位に出現し、前回に9が出た場合は、今回は1が出る」というように法則を複雑にすればするほど、その偏りが平均に近づくまでの回数はかなりの時間を要する事が分かります。（要するに複雑な予測方法は、誤りである事も簡単には検証できない。）

本サブサイトで扱う「賭け」は、通常考えられているギャンブルよりは広く捉えて、「金銭を利得とするゼロサムゲームである」と定義しました（賭け・ギャンブル・ゲームの定義）。ここでは「賭け」をいくつかに分類し、それを取り扱う学問分野について考えてみます。

不確実性があるか、ないか

このサイトでは賭けを「ゼロサムゲーム」であるとしましたが、一般に賭けとは「運や不確実性を伴って利得が変化するゲーム」と考えられるでしょう。このように不確実性があるか、ないか、は賭け・ギャンブル・ゲームを分類する最大の要素であると思います。

• 不確実性がない賭け
  • 将棋、囲碁、オセロ　etc．．．
• 不確実性がある賭け
  • ブラックジャック、バカラ、スロットマシンなど、カジノにある遊戯
  • 麻雀、バックギャモン、ブリッジ、ポーカー
  • 競馬、宝くじ、競艇

不確実性がない賭けは、ここで「賭け」とは呼んでいるものの、一般には「ゲーム」と呼ばれることが多いでしょう。このような不確実性がない完全情報ゲーム（同時に行動することはなく、相手が何を選んだかがすべて分かるもの）は「組み合わせゲーム(combinatorial game)」や「game with no chance」などと呼ばれており、数学や計算機科学の分野で研究されています。ざっくり言うと「数学者が大好きな分野」です。参考となる書籍とページを以下に挙げておきます。

• （書籍）組合せゲーム理論入門 －勝利の方程式－ M.H.Albert (著), R.J.Nowakowski (著), D.Wolfe (著), 川辺 治之 (翻訳)。
• （サイト）日本組合せゲーム理論研究集会 Japan Combinatorial Game Theory Workshop (JCGTW)。
• (書籍)Games of No Chance　Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski (編集) (第１版は2010)

不確実性があるかないかで、学問分野は大きく分かれています。決定的な違いは「確率」が使われるかどうかです。両方を取り扱う研究者はあまりいません。なので、このサイトでは欲張って両方の話題を取り上げようと考えていますが、それでも不確実性がないゲームはやや専門外でもあり、話題は少なくなるでしょう。

これ以降では、一般に「賭け」や「ギャンブル」と言われる「不確実性のある賭け」についての分類を考えます。

不確実性のある賭けの分類(1)：勝つチャンスと利得への関与

Ziemba, Brumell and Schwartz (1986) はギャンブルを２つの観点から計4種類に分類しています。1つ目の観点は、「勝つチャンスが完全に運によるか、技術を要するか」のどちらであるか。もう１つの観点は「勝利による利得が、完全に運に依存するもしくは定まっている（技術によって増減しない）か、技術によって利得が増加するか」です。表にすると以下のようになります。

宝くじもナンバーズも番号はランダムに出るので、勝つチャンスは完全に運に依存していて技術を要しません。ただし、一般の宝くじの賞金は技術を持ってしても増加しませんが（そもそも、ほとんどくじを選べない）、ナンバーズやロトは、自分が選ぶ番号によって賞金を変化させる可能性があります。したがって勝利による利得の分類は、宝くじとロト・ナンバーズでは異なると言えるでしょう。ブラックジャック、ポーカー、バカラ、競馬などは技術によって勝つチャンスも利得も増加する可能性があります。右下のセルに分類されるこれらのギャンブルが、私達が一般にギャンブルと呼ぶもののほとんどを包括しています。

利得も勝つチャンスもどちらも完全に運によるものであれば、それを分析する動機は少なくなるでしょう。本サイトで扱うのは、勝つチャンスか利得の少なくとも１つが技術により増加すると考えうるものでしょう。

不確実性がある賭けの分類（２）：賭事（とじ）と博戯（ばくぎ）

wikipediaの「賭博」の項目では、大谷實『新版刑法講義各論［追補版］』（成文堂、2002年）533頁を参照して「賭ける対象となる勝負事の結果に当事者として関与できるかどうか」という視点から賭博を賭事（とじ）と博戯（ばくぎ）に分類しています。

賭博とは、賭事（とじ）と博戯（ばくぎ）の二つを合わせた言葉である。賭事と博戯の違いは、賭ける側の人間が、賭ける対象となる勝負事の結果に当事者として関与できるか否かである。

賭事（とじ） – 勝負事の結果に参加者が関与できないもの
博戯 – 勝負事の結果に参加者が関与できるもの

公営競技、「野球賭博」「富くじ（宝くじ）」「ルーレット」、「バカラ」などは賭事であり、「賭け麻雀」「賭けゴルフ」「賭けポーカー」などは博戯である。「クラップス」のように、一つのゲームで賭事と博戯が混在[3]する場合もある。

wikipedia「賭博」の項から

この「勝負事の結果に参加者が関与できる」ということと、(1)の「勝つチャンスや運が技術により増加する」ということは、かなり近い概念ですが、違いはあります。競馬を考えてみましょう。(1)のZeimba達の分類では、競馬はどの馬に賭けるかによって、賭けた者の当たる確率や利得を変化させることができます。(2)の分類では、競馬の結果には参加者は関与できないので、博戯になるのでしょう。

不確実性がある賭けの分類 (3)：参加者の人数

他の文献には見当たりませんが、参加者が多数か少数かは、賭けを分類するのに重要な要素であると私は考えています。

カジノなどで扱われる賭け、ブラックジャック、ルーレット、バカラなどは賭けの参加者が比較的少数です。このような問題は、確率や統計などの数学、心理学や意思決定論などがそれを取り扱う学問分野になるでしょう。

これに対し競馬などは、賭けの参加者が多数です。これを取り扱うには経済学で考える「市場」の概念が必要であると考えています。経済学・ファイナンス・金融工学などがこれを取り扱う学問分野になるのではないでしょうか。もちろん、参加者が少数である賭けを取り扱う確率や統計などの数学、心理学も必要となるため、もっとも複雑でエキサイティングな分野ではないでしょうか。本サイトでも、この分野を取り扱うことが多くなると思います。

不確実性がある賭けの分類(4)：主催者・胴元は賭けをするか？

「賭け」にはたいてい主催者がいて、それを「胴元」などと呼んだりします。カジノの主催者はオーナーで、日本の中央競馬ではJRAです（もっともJRAは執行機関であり、本当の主催者は国であるともいえますが）。宝くじの場合には、みずほ銀行を主催者と考えるよりは、自治体などを主催者と考えたほうが良いでしょう。多くの場合、法律で公認のギャンブルは公営で、ギャンブルの主催者は公的機関であったりします。

主催者の収入が運に依存するかどうか、言い換えると主催者自身がギャンブルをするかどうかは賭けを分類する重要な要因です。多くのギャンブルの主催者が公的機関であることを考えると、公的な収入が運に左右されるかどうかに対応するので、これは経済学的にも政策的にも重要な問題です。

カジノにおける多くのギャンブルでは、主催者の収入も運に依存します。例としてルーレットを考えてみましょう。アメリカンルーレットの場合、数字の数は0と00を含めて38個で、１つの数字に賭けて当たった場合の払い戻し倍率は36倍です。仮に全員が（「赤」[黒」とか「奇数」「偶数」のような賭け方ではなく）１つの数字に賭けるような賭け方をすれば、主催者の期待収入は
賭けられた金額×（38分の2）
となります。しかし、これはあくまでも期待値で、確実な収入ではありません。たまたま、参加者がルーレットの数字を次々に当てた場合は、主催者収入はマイナスになります。主催者の収入が、参加者と同様にルーレットの目に左右される点では、主催者も賭けをしていると考えられるでしょう。

カジノに対して、宝くじや日本の競馬はパリマチュアル(parimutuel)方式と呼ばれ、賭けられたお金から一定の額を控除した後、勝者にお金を配分するという方法をとっています。このような方式では主催者の収入は賭けられた金額で確定し、運には左右されません。例として、日本の競馬を考えてみましょう。日本の中央競馬では、賭けられたお金の（約）25%を主催者が控除した後、その金額を勝者に配分することになっています。主催者の収入は
　　　　　　　　　　　　　　　　 賭けられた金額×25%
となります。ルーレットと異なる点は、これは確実な収入であり、本命が来ようが、穴馬が来ようが、どの馬が1着になったかには関係なく、主催者の収入は賭けられたお金にのみ依存します。ルーレットでは、主催者の収入が出た目に依存するのとは対照的に、この場合は、主催者は賭けはしていません。

ルーレットの38分の2も、日本の競馬の25%も、主催者の控除率と呼ばれるものですが、その内容は、このように少し異なります。

主催者が賭けをする方式でも、回数が多くなれば「大数の法則」に従って、収入は期待金額に近づくことが予想されます。したがって、この場合は賭けの回数が多くなることが主催者の収入を安定させるためには大切です。ルーレットにおいて、賭けられるお金の総額が1億円のときに、1億円が1回かけられるのと、100円が1万回賭けられるのでは、後者のほうが主催者には好ましく（リスクが少なく）なります。日本の競馬のようにパリマチュアルシステムでは、この2つに差はありません。

なお、日本の競馬と異なり、イギリスの競馬ではブックメーカー方式と呼ばれる主催者自身が賭けをする形もとられています。

賭け・ギャンブル・ゲームの定義（本サイトにおける）

賭けとギャンブルの定義？

このサブサイトは「賭けの科学」というタイトルです。そこでまず、ここで取り扱う「賭けやギャンブル」の定義について、考えなければなりません。これはなかなか難しい問題です。

一般的にギャンブルとは、「運」や「不確実性」による結果に左右され利益か損失を得る行為と考えられます。この定義では２つの問題点が生じます。１つは「賭け将棋」はギャンブルか？という問題です。昭和の初めなどでは将棋を勝負事として勝ち負けで金銭をやり取りする「賭け将棋」が行われていたと聞きます（参考：小池重明）。将棋は不確実性を持たない完全情報ゲームなので、賭け将棋まで含めると上記の定義は矛盾します。

もう１つは「投資はギャンブルか」という問題です。株式や不動産などへの投資、もっと広げて考えると会社の事業投資、研究開発投資という行為も運や不確実性を伴います。では、これはギャンブルなのかという問題です。これに対しての典型的な答は、賭けた者の期待利益が正ならば投資であり、負ならばギャンブルだ、だから株や事業への投資はギャンブルではないとするものです。一方で、個人や企業の投資も十分ギャンブルだ、とする答もあり、これは人によって見解が分かれる部分だと思います。株や不動産や事業に対する投資も期待利益が正かどうかは分かりません。私が思うには、リスクを好まず株式や不動産への投資を避けたい人はそれを「ギャンブル」と呼び、投資を好むものは「それは投資であってギャンブルではない」と呼ぶ傾向にあるように思えます。

このサイトでは主に不確実性を伴う行為について扱いますが、もう１つ将棋やオセロなどの不確実性を伴わないようなゲームについても、少しだけ考えていきたいと思います。そのような考えから、このサイトで扱う対象をうまく定義できないか考えてきました。そこで、その観点からの別の定義を考えたいと思います。それはその行為がゼロサムゲームかどうか、という観点です。一般にギャンブルと呼ばれる行為は、誰かが勝ち、誰かが負けて、そこでやり取りされる金額の合計はゼロです（ここでは参加者だけではなく、主催者・胴元の利益も含めます）。このやり取りされる金額はゼロ（生産を伴わない）という定義だと、賭け将棋は含まれ、株式・不動産などへの投資行為は含まれません。そして、この定義こそが、本サイトで扱う問題を定義することに適しているのでした。そこで、一般的な定義とは異なりますが、

このサイトにおける「賭け」とは、金銭を利得とするゼロサムゲームである

としておきます。

• 賭けの分類