クールノー競争とベルトラン競争入門(3):クールノー競争の価格・生産量と社会的総余剰

独占市場における価格と生産量の決定を理解したとして,ここでは2社のクールノー競争の価格と生産量の決定,および社会的総余剰の計算について説明します.

クールノー競争の価格と生産量の決定:モデル

ここでは同質財を販売している2社の生産量競争を考えます.一般にクールノー競争と呼ばれるのは,このモデルです(不完全競争市場の分類).

  • 企業AとBが同じ製品(同質財)を販売するとします.AとBの生産量をそれぞれ\(x_A,x_B\)とし,AとBは\(x_A,x_B\)を決定するとしましょう.
  • 市場全体の生産量を\(x=x_A+x_B\)に対して,その価格\(p\)は$$p=a-bx$$で与えられるとします.
  • ここで製品を1単位の費用(限界費用)はAもBも\(c\)で同じであり,生産量にかかわらず一定とします.簡単にするため固定費は考えません.
  • AとBは利益を最大にすると考えます.AとBは,生産量\(x_A,x_B\)をいくらにするでしょうか.

問題の解法

問題は以下のようにして解くことができます.

  • 企業Aの利益を\(\pi_A\)とおく.ここで(利益)=(収入)-(費用)であり,収入は(価格)\(\times\)(生産量),費用は(限界費用)\(\times\)(生産量)となります.したがって$$\pi_A=px_A-cx_A$$となります.
  • この\(\pi_A\)を最大にする\(x_A\)を考えます.そこで\(p=a-bx\)を代入し,さらに\(x=x_A+x_B\)に注意すると\[ \begin{align} \pi_A &= px_A-cx_A \\ &=(a-bx)x_A-cx_A \\&=
    \{a-b(x_A+x_B)\}x_A-cx_A\\&=-bx_A^2-bx_Ax_B+(a-c)x_A \tag{1} \end{align}\]となります.
  • この式(1)を最大にする\(x_A\)を求めるには,ざっくり言うと\(x_A\)で微分
    (正確には偏微分)して0になるところを求めれば良い.(1)を\(x_A\)で微分すると,\(-2bx_A-bx_B+(a-c)\)となります.したがって\[-2bx_A-bx_B+(a-c)=0\]を解けば良く,これより\[x_A=-\frac{1}{2}x_B+\frac{a-c}{2b} \tag{2}\]となります.
  • 式(2)は,企業Aの最適反応関数と呼ばれます.式(2)は\(x_B\)が与えられたときに企業Aの利益を最大にする企業Aの生産量を表しています.したがって,企業Bの生産量が決まれば,企業Aとの最適な生産量(答)が決まるのですが,企業Bの生産量がいくらになるか分かりません.そこで企業Bが利益を最大にする生産量を同様に求めてみます.
  • 企業Bの利益を\(\pi_B\)とおきます.$$\pi_B=px_B-cx_B$$であり,企業Aの場合と同様に\(p=a-bx\)を代入して計算し,$$\pi_B=-bx_B^2-bx_Ax_B+(a-c)x_B$$を得ます.さらに\(x_B\)で微分して0になるところを求めると,\[x_B=-\frac{1}{2}x_A+\frac{a-c}{2b} \tag{3}\]となります.
  • この式(3)は,企業Bの最適反応関数と呼ばれます.企業Aと同様に\(x_A\)が与えられたときに,企業Bの利益を最大にする企業Bの生産量を表しています.
  • ここで,企業Aは企業Bの生産量が分からなければ,利益を最大にする生産量が分からず,企業Bは企業Aの生産量が分からなければ,利益を最大にする生産量が分かりません.ここでゲーム理論のナッシュ均衡の概念により解を求めるわけです.ナッシュ均衡は,お互いが最適反応戦略を選び合うような戦略の組み合わせで,ここでは式(2)と式(3)を同時に満たす\(x_A\),\(x_B\)となります.
  • 式(2)と式(3)を同時に満たす\(x_A\),\(x_B\)は,これらを連立方程式で解くことによって求められます.式(3)の\(x_B\)を式(2)に代入して計算すると\(x_A=-\frac{1}{4}x_A+\frac{a-c}{4b}\)となり,これから\(x_A=\frac{a-c}{3b}\)を得ます.またこれを式(2)に代入して,\(x_B=\frac{a-c}{3b}\)を得ます.
    このときの価格は\[p=a-bx=a-b(x_A+x_B)=\frac{a+2c}{3} \]となります.
  • このとき企業Aの利益は\[ \begin{align} \pi_A &= px_A-cx_A =(p-c)x_A\\ &=\left(\frac{a+2c}{3}-c\right)\left(\frac{a-c}{3b}\right)=\frac{(a-c)^2}{9b} \end{align}\] となります.同様に企業Bの利益も同じになります.

まとめますと,クールノー競争における企業Aと企業Bの生産量は\(x_A=x_B=\frac{a-c}{3b}\)となります.これをクールノー均衡と呼びます.クールノー均衡における価格は\(p=\frac{a+2c}{3}\),各企業の利益は\(\pi_A=\pi_B=\frac{(a-c)^2}{9b}\)となります.

消費者余剰,社会的総余剰

独占市場における,消費者余剰,生産者余剰,社会的総余剰について示します.

市場全体の取引量が\(x=x_A+x_B=\frac{2(a-c)}{3b}\)であることに注意すると,上記で求めたクールノー競争の価格と生産量と企業の限界費用は,以下の図で示すことができます.

クールノー競争における生産量・価格・社会的総余剰

消費者余剰は,図の青色で示された部分の三角形です.

三角形の底辺の長さは\(\frac{2(a-c)}{3b}\),高さは\[ a-\frac{a+2c}{3}=\frac{2(a-c)}{3} \]ですから,三角形の面積は\[ \frac{1}{2} \times\frac{2(a-c)}{3b} \times \frac{2(a-c)}{3}=\frac{2(a-c)^2}{9b} \]となります.

企業の利益は,図の緑色の部分の長方形の面積です.

長方形の高さ(価格-限界費用)は,\(\frac{a+2c}{3}-c=\frac{a-c}{3}\),ヨコの長さは\(\frac{2(a-c)}{3b}\)ですので,長方形の面積は\[\frac{a-c}{3}\times\frac{2(a-c)}{3b}=\frac{2(a-c)^2}{9b}\]となります.先に求めた企業の利益を合計した値(\(\pi_A+\pi_B\))と一致することがわかりますね.これを生産者余剰とも呼びます.

社会的総余剰は,消費者余剰と生産者余剰の総和です.したがって社会的総余剰は
\[\frac{2(a-c)^2}{9b}+\frac{2(a-c)^2}{9b}=\frac{4(a-c)^2}{9b}\]です.